Cálculo Diferencial II
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Números y Límites
El Infinito Matemático
CAPÍTULO IV
5.1. Introducción
5.2. Evolución del concepto de número
5.2.1. Números y cantidades en la antigua Grecia
5.2.2. De la antigua Grecia a la invención del Cálculo
5.2.3. Infinitésimos y el continuo numérico
5.2.4. El triunfo de Pitágoras
5.2.4.1. Cortaduras de Dedekind
5.2.4.2. Métodos axiomáticos y métodos constructivos
5.2.4.3. El regreso de los pequeñitos
5.2.5. Ejercicios propuestos
5.3. Evolución del concepto de límite funcional
5.3.1. La teoría de las “razones últimas” de Newton
5.3.2. La metafísica del Cálculo en D’Alembert y Lagrange
5.3.3. El premio de la Academia de Berlín de 1784
5.3.4. Cauchy y su Cours D’Analyse de 1821
5.3.5. El innovador trabajo de Bolzano
5.3.6. Weierstrass nos dio los ε − δ
5.3.7. Ejercicios propuestos
5.4. Breve historia del infinito
5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas
5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea
5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita
5.4.1.3. La rueda de Aristóteles
5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX
5.4.2.1. El infinito en la Escolástica
5.4.2.2. Galileo y el infinito
5.4.2.3. El Cálculo y el infinito
5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos
5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo
5.4.4. Ejercicios propuestos
Derivadas
CAPÍTULO V
6.1. Introducción
6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
6.2.1. Tangente a una curva
6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea
6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada
6.2.3. Derivadas laterales
6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación
6.2.5. Ejercicios propuestos
6.2.6. Ejercicios resueltos
6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales
6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia logarítmica
6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas
6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas
6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio
6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio
6.3.2. Reglas de L’Hôpital
6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor
6.4.1. Notación de Landau
6.4.2. Polinomios de Taylor de las funciones elementales
6.5. Técnicas para calcular límites de funciones
6.5.1. Límites que debes saberte de memoria
6.5.2. Sobre el mal uso de las reglas de L’Hôpital
6.5.3. Sobre el uso de la notación l´ımx→a
6.6. Extremos relativos. Teorema de Taylor
6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas
6.7.1. Ejercicios propuestos
6.7.2. Ejercicios resueltos
6.8. Orígenes y desarrollo del concepto de derivada
6.8.1. Las matemáticas en Europa en el siglo XVII
6.8.2. Cálculo de tangentes y de valores extremos
6.8.2.1. El método de máximos y mínimos de Fermat
6.8.2.2. El método de las tangentes de Fermat
6.8.2.3. El método de Roberval y de Torricelli para las tangentes
6.8.2.4. El triángulo diferencial de Barrow
6.8.3. Los inventores del Cálculo
6.8.4. Newton y el cálculo de fluxiones
6.8.5. Leibniz y el cálculo de diferencias
6.8.6. Desarrollo del cálculo diferencial
Sucesiones
CAPÍTULO VI
7.1. Introducción
7.2. Sucesiones de números reales
7.2.1. Sucesiones convergentes
7.2.2. Sucesiones convergentes y estructura de orden de R
7.2.3. Sucesiones monótonas
7.2.3.1. El número e
7.2.4. Sucesiones convergentes y estructura algebraica de R
7.2.5. Sucesiones parciales. Teorema de Bolzano–Weierstrass
7.2.6. Condición de Cauchy. Teorema de completitud de R
7.2.7. Límites superior e inferior de una sucesión
7.2.8. Ejercicios propuestos
7.2.9. Ejercicios resueltos
7.3. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites
7.3.1. Sucesiones y límite funcional
7.3.2. Sucesiones asintóticamente equivalentes
7.3.3. Sucesiones de potencias
7.3.4. Ejercicios propuestos
7.3.5. Ejercicios resueltos
7.4. Sucesiones de números complejos
7.4.1. Definición de la exponencial compleja
7.4.2. Ejercicios propuestos
7.4.3. Ejercicios resueltos
7.5. Demostraciones alternativas de los teoremas de Bolzano y de Weierstrass
7.6. Continuidad uniforme