Cálculo Integral
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Integral de Riemann
CAPÍTULO VII
8.1. Introducción
8.2. Aproximaciones al área
8.2.1. Definición y propiedades básicas de la integral
8.2.2. El Teorema Fundamental del Cálculo
8.2.3. Primitivas. Regla de Barrow
8.2.4. Las funciones logaritmo y exponencial
8.3. Integrales impropias de Riemann
8.3.1. Criterios de convergencia para integrales
8.4. Teoremas del valor medio para integrales
8.5. Derivadas e integrales de funciones complejas de variable real
8.5.1. Ejercicios propuestos
8.5.2. Ejercicios resueltos
8.6. Técnicas de cálculo de Primitivas
8.6.1. Calcular una primitiva. ¿Para qué?
8.6.2. Observaciones sobre la notación y terminología usuales
8.6.3. Primitivas inmediatas .
8.6.4. Integración por partes
8.6.4.1. Integración por recurrencia
8.6.5. Ejercicios propuestos
8.6.6. Integración por sustitución o cambio de variable
8.6.7. Ejercicios propuestos .
8.6.8. Integración de funciones racionales
8.6.8.1. Método de los coeficientes indeterminados
8.6.8.2. Método de Hermite
36 8.6.9. Ejercicios propuestos
8.6.10. Integración por racionalización
8.6.10.1. Integración de funciones del tipo R(sen x, cos x)
8.6.10.2. Integrales del tipo w R x, [L(x)]r , [L(x)]s , . . . dx
8.6.10.3. Integrales binomias
8.6.10.4. Integrales del tipo w R(ex ) dx
8.6.10.5. Integración de funciones del tipo R(x, √ ax2 + bx + c)
8.6.11. Ejercicios propuestos
8.6.12. Ejercicios resueltos
8.7. Aplicaciones de la integral
8.7.1. Cálculo de áreas planas
8.7.1.1. Regiones de tipo I
8.7.1.2. Regiones de tipo II
8.7.2. Ejercicios propuestos
8.7.3. Ejercicios resueltos
8.7.4. Curvas en el plano
8.7.4.1. Área encerrada por una curva
8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares
8.7.5. Ejercicios propuestos
8.7.6. Longitud de un arco de curva
8.7.7. Ejercicios propuestos
8.7.8. Volúmenes de sólidos
8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución
8.7.9. Ejercicios propuestos .
8.7.10. Ejercicios propuesto
8.7.11. Área de una superficie de revolución
8.7.12. Ejercicios propuestos
8.7.13. Ejercicios resueltos
8.8. Evolución de la idea de integral
8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes
8.8.1.2. El Método de Arquímedes
8.8.1.3. Área de una espiral
8.8.2. La integración antes del Cálculo
8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri .
8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval
8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat
8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis
8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow
8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes
8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton
8.8.3.2. La invención del calculus summatorius por Leibniz
Series Numéricas
CAPÍTULO VIII
9.1. Conceptos básicos
9.1.1. La particularidad del estudio de las series
9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes
521 9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas
9.1.4. Ejercicios propuestos
9.1.5. Ejercicios resueltos
9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos
9.2.1. Ejercicios propuestos
9.2.2. Ejercicios resueltos
9.3. Criterios de convergencia no absoluta
9.3.1. Ejercicios propuestos
9.3.2. Ejercicios resueltos
9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta
9.4.1. Ejercicios propuestos
9.5. Expresión de un número real en base b
9.6. Series de números complejos
9.6.1. Ejercicios propuestos
9.6.2. Ejercicios resueltos
9.7. Cálculo elemental de r +∞ 0 sen x x dx y de P∞ n=1 1 n2
9.4.2. Ejercicios resueltos
Sucesiones y
Series de Funciones
CAPÍTULO IX
10.1. Introducción
10.2. Conceptos básicos
10.2.1. Convergencia puntual
10.2.2. Convergencia Uniforme
10.2.3. Series de funciones
10.3. Series de potencias
10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias
10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia
10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales
10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidas por series
10.4.1.1. La función exponencial
10.4.1.2. Las funciones trigonométricas
10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass
10.5.1. Ejercicios propuestos
10.5.2. Ejercicios resueltos
10.6. Los primeros desarrollos en serie
10.6.1. Newton y las series infinitas